题目

已知函数f（x）=3x+λ•3﹣x（λ∈R）． （1）当λ=﹣4时，求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）为偶函数，求实数λ的值； （3）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围． 　 　 答案：【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质． 【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）把λ=﹣4代入函数解析式，求解指数方程求得函数f（x）的零点； （2）直接利用偶函数的性质列式求得λ的值； （3）由不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，分离参数λ，换元后利用配方法求得最小值得答案． 【解答】解：（1）当λ=﹣4时，f（x）=3x﹣4•3﹣x， 令f（x）=0，得3x﹣4•3﹣x=0， 即（3x）2﹣4=0，解得x=log32． 故函数f（x）的零点为log32； （2）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）． ∴3﹣x+λ•3x=3x+λ•3﹣x，即（1﹣λ）（3﹣x﹣3x）=0． 又∵3﹣x﹣3x不恒为零， ∴1﹣λ=0，即λ=1； （3）由f（x）≤6，得3x+λ•3﹣x≤6， 即． 令t=3x∈[1，9]，原不等式等价于在t∈[1，9]恒成立． 亦即λ≤﹣t2+6t在t∈[1，9]上恒成立． 令g（t）=﹣t2+6t，t∈[1，9]． 当t=9时，g（t）有最小值g（9）=﹣27． ∴λ≤﹣27． 【点评】本题考查函数零点的求法，考查了函数奇偶性的性质，训练了利用分离变量法求解恒成立问题中的参数范围问题，是中档题．

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