题目

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值与极小值之差. 答案：解:f′(x)=3x2+2ax+b.    ∵f(x)在x=2处有极值,    ∴f′(2)=0,即12+4a+b=0.    又f(x)的图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,    ∴f′(1)=-3,    即3+2a+b=-3.    由得    ∴f′(x)=3x2-6x.    由f′(x)=0,得x1=0,x2=2.    当x＜0时,f′(x)＞0；当0＜x＜2,f′(x)＜0；当x＞2时,f′(x)＞0.    ∴x=0时取极大值,x=2时取极小值.    ∴f(0)-f(2)=c-8+12-c=4.

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