题目

如图，已知是直角梯形，，，，平面． (1) 证明：； (2) 在上是否存在一点，使得∥平面？若存在，找出点，并证明：∥平面；若不存在，请说明理由；    （3）若，求二面角的余弦值． 答案：（1）证明见解析（2）存在（3）二面角的余弦值为 解析:（1）由已知易得，．     ∵ ， ∴ ，即． 又 ∵ 平面，平面，∴ ． ∵ ，∴ 平面．又∵ 平面，  ∴ ．  (2) 存在．取的中点为,连结,则∥平面．证明如下： 取的中点为,连结． ∵，， ∴，且，   ∴四边形是平行四边形，即．    ∵ 平面，∴ 平面.        ∵分别是的中点，∴ ． ∵  平面，∴ 平面．∵  ，∴平面平面． ∵  平面，∴平面． （3）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有，，，，，，，       由题意知，平面，所以是平面的法向量．      设是平面的法向量， 则，即． 所以可设．所以． 结合图象可知，二面角的余弦值为．

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