题目

已知抛物线＝＋＋－4．（１）当＝２时，求出此抛物线的顶点坐标；（２）求证：无论为什么实数，抛物线都与轴有交点，且经过轴上的一定点；（３）已知抛物线与轴交于Ａ（1，0）、Ｂ（2，0）两点（Ａ在Ｂ的左边），|1|＜|2|，与轴交于C点，且Ｓ△ABC＝１５．问：过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标．   答案：（１）（－１，－１）（２）当≥４时，当＜４时（３）有第四个交点，（１，－６）解析:解：（１）当＝２时，抛物线为＝＋，…………………………１分配方：＝＋＝＋＋１－１得＝－１，∴顶点坐标为（－１，－１）；………………………………………………３分（也可由顶点公式求得）（２）令＝０，有＋＋－4＝０，………………………………４分此一元二次方程根的判别式⊿＝－４·（－４）＝－＋１６＝，…………………５分∵无论为什么实数，≥０，方程＋＋－4＝０都有解，…………………………………………６分即抛物线总与轴有交点．由求根公式得＝，………………………………………………７分当≥４时，＝，1＝＝－２，2＝＝－＋２； 当＜４时，＝， 1＝＝－＋２，2＝＝－２．即抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０），而点（－２，０）是轴上的定点；…………………………………………８分（３）过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线有第四个交点．…………………９分设此点为Ｄ．∵|1|＜|2|，C点在y轴上，由抛物线的对称，可知点Ｃ不是抛物线的顶点．……………………………１０分由于圆和抛物线都是轴对称图形，过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形．……………………１１分∵轴上的两点Ａ、Ｂ关于抛物线对称轴对称，∴过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线的第四个交点Ｄ应与C点关于抛物线对称轴对称．……………………………………１２分由抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０）：当－２＜－＋２，即＜４时，…………………………１３分Ａ点坐标为（－２，０），Ｂ为（－＋２，０）．即1＝－２，2＝－＋２．由|1|＜|2|得－＋２＞２，解得＜０．根据Ｓ△ABC＝１５，得ＡＢ·ＯＣ＝１５．ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－，ＯＣ＝|２－４|＝４－２，∴（４－）（４－２）＝１５，化简整理得＝０，解得＝７（舍去）或＝－１．此时抛物线解析式为＝，其对称轴为＝，Ｃ点坐标为（０，－６），它关于＝的对称点Ｄ坐标为（１，－６）；………………………………１４分当－２＞－＋２，由Ａ点在Ｂ点左边，知Ａ点坐标为（－＋２，０），Ｂ为（－２，０）． 即1＝－＋２，2＝－２．但此时|1|＞|2|，这与已知条件|1|＜|2|不相符，∴不存在此种情况．故第四个交点的坐标为（１，－６）．（如图６）（１）把＝２代入抛物线，通过配方可求得此抛物线的顶点坐标（2）令y=0，解方程＋＋－4，即可求出抛物线与x轴两交点的横坐标，定点为与k值无关的点；（3）过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D，根据A、B、C三点坐标，讨论k的范围，表示△ABC的面积，列方程求k，再根据对称性求D点坐标 

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