题目

已知F1,F2分别是椭圆E: +y2=1的左、右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点. (1)求圆C的方程; (2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程. 答案：解:(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点. 设圆心的坐标为(x0,y0), 由解得 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4. (2)由题意,可设直线l的方程为x=my+2, 则圆心到直线l的距离d=. 所以b=2=. 由得(m2+5)y2+4my-1=0. 设l与E的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则y1+y2=-,y1y2=-. 于是a== = ==. 从而ab== =≤ =2. 当且仅当=,即m=±时等号成立. 故当m=±时,ab最大,此时,直线l的方程为x=y+2或x=-y+2, 即x-y-2=0或x+y-2=0.

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