题目

如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上. (例4) (1)若OM=，求PM的长； (2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小?并求出面积的最小值. 　 答案： (1)在△OMP中，∠P=45°，OM=，OP=2. 由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°， 得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3. (2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得=， 所以OM=，同理ON=， 故S△OMN=×OM×ON×sin ∠MON =× = =　 = = ==. 因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°. 所以当α=30°时，sin(2α+30°)取得最大值为1，此时△OMN的面积取得最小值，即∠POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为8-4.

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