题目

如图，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值．(2)求点D到平面PAB的距离． 答案：解　如图取DC的中点O，连结PO， ∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC 又∵面PDC⊥面ABCD ∴PO⊥面ABCD ∴以O为坐标原点OC、OP所在直线为y轴，z轴建立如图所示直角坐标系， 则P(0,0，a)，A(a，,0)，B(a，,0)，C(0，,0)， D(0，,0)． (1)∵E为PC的中点，∴E(0，，) ∴＝(0，a，a)，＝(a，－，－a)， ·＝a×(－)＋a×(－a)＝－a2， ||＝a，||＝a， cos〈，〉＝, ∴异面直线PA与DE所成角的余弦值为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 (2)由(1)知＝(a，－，－a)， ＝(0，a,0)， ＝(0，a,0)， 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 n⊥，n⊥＝(0，a,0)， ∴n·＝xa－y－az＝0① n·＝ya＝0② 由②得y＝0，代入①得xa－az＝0 令x＝，则z＝2，∴n＝(，0,2)． 则D到平面PAB的距离d等于在 n 上射影的绝对值. ＝＝a， 即点D到平面PAB的距离等于a. 。。。。。。。。。12分

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