题目

如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;(2)设AA1=AC=2AB,求二面角A1—AD—C1的大小. 答案：(1)证明：如图，建立直角坐标系O—xyz，其中原点O 为AC的中点.设A（a,0,0）,B(0,b,0),B1(0,b,2c).则C（-a,0,0）,C1(-a,0,2c),E(0,0.c),D(0,b,c).=(0,b,0),=(0,0,2c).·=0，∴ED⊥BB1.又=（-2a,0,2c）, ·=0，∴ED⊥AC1，∴ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.(2)解：不妨设A（1，0，0）则B（0，1，0），C（-1，0，0），A1（1，0，2），=（-1，-1，0），=（-1，1，0），=（0，0，2）·=0，·=0.即BC⊥AB，BC⊥AA1.又AB∩AA1=A,∴BC⊥面A1AD.又E（0，0，1），D（0，1，1），C（-1，0，0）.=(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0),·=0，·=0，即EC⊥AE，EC⊥ED.又AE∩ED=E,∴EC⊥面C1AD.cos〈,〉==，即得和的夹角为60°.∴二面角A1—AD—C1为60°.

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