题目

已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为． （1）求抛物线的方程； （2）求双曲线的方程． 答案：【考点】双曲线的标准方程；抛物线的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点，求出c、p的值， （2）进而结合双曲线的性质a2+b2=c2，求解即可得双曲线的方程． 【解答】解：（1）由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p=2c．设抛物线方程为y2=4c•x， ∵抛物线过点，∴6=4c•． ∴c=1， 故抛物线方程为y2=4x． （2）由（1）得p=2，…（5分） 所以，所求双曲线的一个焦点为（1，0），c=1…（9分） 设所求双曲线方程为， 代入点，得…（12分） 故双曲线的方程为：4x2﹣=1． 【点评】本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．

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