题目

已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数. (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围. 答案：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx， log4－log4(4x＋1)＝2kx⇒(2k＋1)x＝0 ⇒k＝－. (2)依题意知：log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a) ⇒， 令t＝2x，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0只需其有一正根. ①若a＝1，则t＝－1不合题意. ②若(*)式有一正一负根，则， ∴a＞1， 经验证知a＞1时满足a·2x－a＞0，∴a＞1. ③两实根相等，Δ＝0⇒a＝±2－2. 当a＝－2－2时，方程(1－a)t2＋at＋1＝0的根为t＝2x＝ ＝＝， 此时满足2x·a－a＞0. 当a＝2－2时，方程(1－a)t2＋at＋1＝0的根为t＝2x＝＝ ＝，不满足a·2x－a＞0， ∴a＝－2－2， 综上所述，a＞1或a＝－2－2.

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