题目

已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程;(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点,①无论直线l绕F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值.②过P、Q作直线x=的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,是否存在直线l,满足|PA|+|QB|=|AB|,若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由. 答案：解:(1)由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支.由c=2,2a=2,得b2=3.轨迹E的方程为x2=1(x≥1). (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),将l的方程与双曲线方程联立,消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.解得k2＞3.①∵·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=（k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=+m2,∵MP⊥MQ,∴·=0,即3(1-m2）+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2＞3恒成立.∴解得m=-1.当m=-1时,MP⊥MQ.当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立.综上,当m=-1时,MP⊥MQ. ②∵a=1,c=2,∴x=是双曲线的右准线,假设存在直线l满足条件,且斜率为k.由双曲线定义得:|PA|=|PF2|=|PF2|,|QB|=|QF2|，∴|PQ|=|AB||x2-x1|=|y2-y1|=|k(x2-x1)|.∴1=|k|.∴k=±1.又k2＞3,∴此时k不存在.当直线的斜率不存在时,|PQ|=|AB|,此时不满足题设.故不存在满足题设条件的直线l.

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