题目

.已知直线y=2x＋m与抛物线y=ax2＋ax＋b有一个公共点M(1,0),且a＜b. (Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点; (Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N,若－1≤a≤－,求线段MN长度的取值范围; 答案：解:(Ⅰ)∵抛物线过点M(1,0), ∴a＋a＋b=0,即b=－2a, ∵y=ax2＋ax＋b=ax2＋ax－2a=a(x＋)2－, ∴抛物线顶点Q的坐标为(－,－); (Ⅱ)∵直线y=2x＋m经过点M(1,0), ∴0=2×1＋m,解得m=－2, 把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0①, ∴Δ=(a－2)2－4a(－2a＋2)=9a2－12a＋4, 又∵a＜b,b=－2a, ∴a＜0,b＞0, ∴Δ=9a2－12a＋4＞0, ∴方程①有两个不相等的实数根, ∴直线与抛物线有两个交点; （Ⅲ）把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0, 即x2＋(1－)x－2＋=0, ∴[x＋(－)]2=(－)2,解得x1=1,x2=－2, 将x=－2代入y=2x－2得y=－6, ∴点N(－2,－6), 根据两点间的距离公式得, MN 2=[(－2)－1]2＋(－6)2=－＋45=20(－)2, ∵－1≤a≤－,则－2≤≤－1, ∴－＜0, ∴MN=2(－)=3－, 又∵－1≤a≤－, ∴5≤MN≤7.

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