题目

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.  1.填空：菱形ABCD的边长是  ▲  、面积是  ▲  、 高BE的长是  ▲  ；2.探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值； ②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t = 4 秒时的情形，并求出k的值.  答案： 1.5, 24, 2.①由题意，得AP=t，AQ=10-2t. 如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得  △AQG∽△ABE,∴,∴QG=,∴(≤t≤5).∵(≤t≤5).∴当t=时，S最大值为6.② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=. 以下分两种情况讨论:第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交 AC于点F,则AM=.  由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得, ∴,∴.∴CQ1==.则,∴ 第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,分别使A P= A Q2,PA=PQ3.①  若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.  则,∴.②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，  由△ANP∽△AEB,得. ∵AE= ,∴AN＝.∴AQ3=2AN=,  ∴BC+BQ3=10-则.∴. 综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或. 解析:略 

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