题目

如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③ =；④GH的值为定值；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB= 上述结论中正确的个数为（　　） A．2       B．3       C．4       D．5 　 答案：B【考点】相似形综合题． 【专题】压轴题；数形结合． 【分析】根据=可以判断①正确；根据△DCB∽△ECF可以判断②正确；根据△EDC∽△EHG得，由AB=DC可知③错误；根据△DEH∽△DBA求出EH=，HG=故④正确；根据已知条件可以证明△AEF是等腰三角形，列出方程6﹣t=2+3t，求出t，得到DE=1，根据tan∠BGF=tan∠DCE=，故⑤错误． 【解答】解：作CN⊥BD，连接AC． ∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB=DC， ∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°， ∵，， ∴， ∵∠CDE=∠FBC=90° ∴△CDE∽△CBF，故①正确， ∴∠DCE=∠BCF， ∵∠DCE+∠BCE=90°， ∴∠BCE+∠BCF=90°， ∴∠ECD=90°， ∵， ∴， ∵∠DCB=∠ECF ∴△DCB∽△ECF， ∴∠DBC=∠EFC，故②正确， ∴∠CDB=∠CEF， ∵∠CDB+∠DCN=90°，∠DCN+∠NCB=90°， ∴∠DCB=∠NCB=∠CEF， ∵CN⊥BD，EH⊥DB， ∴CN∥EH， ∴∠NCE=∠CEH， ∴∠ECB=∠HEG， ∵AD∥BC， ∴∠DEC=∠ECB， ∴∠DEC=∠HEG， ∵∠EDC=∠EHG=90°， ∴△EDC∽△EHG， ∴， ∵AB=DC， ∴，故③错误， ∵AD=BC=6，AB=2， ∴BD==2， ∵∠EDH=∠ADB，∠EHD=∠DAB， ∴△DEH∽△DBA， ∴， ∴， ∴EH=， ∵， ∴， ∴HG=，故④正确． ∵BM∥ED，MG=3EG， ∴， ∴BM=3t， ∵BF=3t， ∴MB=BF，∵∠MBF=90° ∴∠MFB=45°， ∵∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， ∴AE=AF， ∴6﹣t=2+3t ∴t=1，DE=1， ∵∠FGB=∠EGH=∠DCE， ∴tan∠BGF=tan∠DCE==，故⑤错误． 综上所述①②④正确． 故选B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角函数等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键，本题还用到方程的思想解决线段的长度问题．

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