题目

如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （Ⅰ）求证：平面BCD； （Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （Ⅲ）求点E到平面ACD的距离． 答案：(1)证明见解析(2)  (3) 解析:方法一：⑴．证明：连结OC      ………… 1分     ，． ……… 2分     在中，由已知可得 … 3分 而，     …………………  4分     即  …………………  5分     ∴平面．   ……………………………  6分 ⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为 BC的中点知， ∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，…………… 8分 在中，   是直角斜边AC上的中线，∴ ……………9分 ∴，    ……………………… 10分 ∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为． …………………………  11分 ⑶．解：设点E到平面ACD的距离为． ，  ………………………………………………12分     在中，,     ,而，．     ∴，   ∴点E到平面ACD的距离为  …14分     方法二：⑴．同方法一．     ⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则         ，    ……………   9分     ∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．……   10分     ⑶．解：设平面ACD的法向量为则     ， ∴，令得是平面ACD的一个法向量．     又 ∴点E到平面ACD的距离  ．…14分

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