题目

已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为． （1）求椭圆E的方程； （2）已知点M的坐标为（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值． 答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）右焦点（c，0），则=，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出． （2）设直线l的方程为：y=x+m，与椭圆方程联立可得：x2+2mbx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．k1+k2=+=，分子=+，把根与系数的关系代入即可得出． 【解答】（1）解：右焦点（c，0），则=，又，a2=b2+c2， 联立解得c=，a=2，b=2． ∴椭圆E的方程为=1． （2）证明：设直线l的方程为：y=x+m，联立， 化为：x2+2mbx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）． 则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．又k1=，k2=． ∴k1+k2=+=， 分子=+=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0， ∴k1+k2=0，为定值． 　

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