题目

如图，点 E 在等边 的边 BC 上， ，射线 于点 C ，点 P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 的值最小时， ，则 AC 为（ ） A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 10 答案： D 【解析】 【分析】 作点 E 关于直线 CD 的对称点 E′ ，连结 FE′ ，当点 E ′ 、 P 、 F 三点共线，且 E ′ F ⊥ AB 时， EP + PF 的值最小，由 ∠ B ＝ 60° ， ∠ BFE′ ＝ 90° ，推出 ∠ E′ ＝ 30° ，从而推出 BE′ ＝ 14 ，从而求出 CE ＝ CE′ ＝ 4 ，进一步即可求出 AC 的长度 . 【详解】 ∵△ ABC 是等边三角形， ∴ AC ＝ BC ， ∠ B ＝ 60° ， 作点 E 关于直线 CD 的对称点 E′ ，连结 FE′ ， ∴ PE = PE ′ ， PE + PF = PE ′+ PF ≥ FE ′ ， 当点 E ′ 、 P 、 F 三点共线，且 E ′ F ⊥ AB 时， EP + PF 的值最小等于 E ′ F ， ∵∠ B ＝ 60° ， ∠ BFE′ ＝ 90° ， ∴∠ BE′F ＝ 30° ， ∵ BF ＝ 7 ， ∴ BE′ ＝ 2 BF ＝ 14 ， ∵ BE =6 ， ∴ EE ′= BE ′- BE =14-6=8 ， ∴ EC = CE ′=4 ， ∴ AC ＝ BC ＝ BE ′- CE ′=14-4=10 ， 故选： D ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，轴对称性质， 30° 直角三角形性质，解题的关键是作辅助线找出点 P ，推出此时， EP + PF 的值最小是解题关键

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