题目

(21)已知函数,设曲线在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点(xn+1,0)(x∈N*)其中x为正实数(Ⅰ)用xn表示xn+1(Ⅱ)求证：对一切正整数n，的充要条件是；（Ⅲ）若x1=4，记，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛an｝的通项公式。 答案：本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。解：（Ⅰ）由题可得所以过曲线上点的切线方程为，即令，得，即显然 ∴（Ⅱ）证明：（必要性）若对一切正整数，则，即，而，∴，即有（充分性）若，由用数学归纳法易得，从而，即又 ∴于是，即对一切正整数成立（Ⅲ）由，知，同理，故从而，即所以，数列成等比数列，故，即，从而所以

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