题目

已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A（单位/kg） 60 70 40 维生素B（单位/kg） 80 40 50 成本（元/kg） 11 9 4   现分别用甲、乙、丙三种食物配成10kg混合食物，并使混合食物内至少含有560单位维生素A和630单位维生素B. （Ⅰ）若混合食物中恰含580单位维生素A和660单位维生素B，求混合食物的成本为多少元? （Ⅱ）分别用甲、乙、丙三种食物各多少kg，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多少元？ 答案：（1）92（2）85 解析:Ⅰ）依题意得，即.              由此解得x＝6，y＝z＝2.                                                       故混合食物的成本为6×11＋2×9＋2×4＝92(元).                                 （II）解法一：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本为p元，则 ，即.                             且.                                            作可行域，如图.                                                              由，得点A(5，2). 平移直线7x＋5y＝0，由图知，当直线经过点A时， 它在y轴上的截距为最大，所以点A为最优解， 此时(元).                                            故用甲种食物5kg，乙种食物2kg，丙种食物3kg时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元.                                                                     解法二：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本为p元，则 ，即.                                  且.                                            因为，所以.    当且仅当，即时等号成立，所以p的最小值为45.            故用甲种食物5kg，乙种食物2kg，丙种食物3kg时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元.                                                                    （13分）

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