题目

如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点. （1）求证：是的切线； （2）设，，试用含的代数式表示线段的长； （3）若，，求的长. 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 分析：（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证； （2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD； （3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可． 详解：（1）证明：如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线； （2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线， ∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴ ，即AD2=AB•AF=xy， 则AD= （3）连接EF，在Rt△BOD中，sinB=， 设圆的半径为r，可得， 解得：r=5， ∴AE=10，AB=18， ∵AE是直径， ∴∠AFE=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B， ∴sin∠AEF=， ∴AF=AE•sin∠AEF=10×， ∵AF∥OD， ∴，即DG=AD， ∵AD=， 则DG=×=． 点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

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