题目

【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=，求sin2α的值． 小娟是这样给小芸讲解的： 如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°. 设∠BAC=α， 则sinα= = ．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AB=3x，则AC=x．作CD⊥AB于D，求出CD=　　　　　（用含x的式子表示），可求得sin2α==　　　　　． 【问题解决】已知，如图2，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ = ，求sin2β的值. 答案：【考点】锐角三角函数 【试题解析】 解析：解：． sin2α==． 如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作于点R． 在⊙O中，∠NMQ=90°． ∵∠Q=∠P=β，  ∴∠MON=2∠Q=2β． 在Rt△QMN中， ∵sinβ =， ∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=． ∴MQ=． ∵ ，  ∴． ∴ MR=． 在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON =． 【答案】；

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