题目

21. 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax2+bx2+cx+d.方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根.（1）求d的值； （2）若a=0，求c的取值范围； （3）若a=l，f（1）=0，求c的取值范围. 答案：解：（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0.于是，g（0）=g（f（r））=0.即g（0）=d=0.所以，d=0. （2）由题意及（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx.由a=0得b，c是不全为零的实数，且g（x）=bx2+cx=x（bx+c），则g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）.方程f（x）=0就是x（bx+c）=0.　　                                   ①方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0.　　   ②（i）当c=0时，b≠0，方程①、②的根都为x=0，符合题意。（ii）当c≠0，b=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意。（iii）当c≠0，b≠0时，方程①的根为x1=0，x2=-，它们也都是方程②的根，但它们不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根。由题意，方程b2x2+bcx+c=无实数根，此方程根的判别式△＝（bc）2-4b2c＜0，得0＜c＜4。综上所述，所求c的取值范围为［0，4）.（3）由a=1，f（1）=0得b= -c，f（x）=bx2+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）-cf（x）+c].　　                                     ③由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x） =0的根一定是方程g（f（x））=0的根。当c=0时，符合题意。当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f2（x）-cf（x）+c=0　　 ④的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么当（-c）2-4c＜0，即0＜c＜4时，f2（x）-cf（x）+c>0，符合题意。当（-c）2-4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得f（x）=-cx2+cx=，即cx2–cx+=0，　  ⑤则方程⑤应无实数根，所以有（-c）2-4c＜0且（-c）2-4c＜0.当c＜0时，只需-c2-2c＜0，解得0＜c＜，矛盾，舍去。当c≥4时，只需-c2+2c＜0，解得0＜c＜.因此，4≤c＜.综上所述，所示c的取值范围为［0， ）。

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