题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 答案：（1）直线BC与⊙O相切，证明见解析；（2） 【解析】 （1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线； （2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积． 【详解】 解：（1）BC与⊙O相切．理由如下： 连接OD．∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD． ∵OD=OA ∴∠OAD=∠ODA ∴∠CAD=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切； （2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2． 根据勾股定理得：， 即， 解得：x=2，即OD=OF=2 ∴OB=2+2=4． Rt△ODB中 ∵OD=OB ∴∠B=30° ∴∠DOB=60° ∴S扇形DOF== 则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==． 故阴影部分的面积为．

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