题目

如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC为直角，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF=2FB.（1）求证：FG∥平面PAB；（2）求证：FG⊥AC；（3）当二面角P-CD-A多大时，FG⊥平面AEC？ 答案：解法一：（1）连结CG并延长交PA于M，连结BM.∵G为△PAC的重心，∴CG∶GM=2∶1. 又CF∶FB=2∶1,∴FG∥BM.∵BM平面PAB，FG平面PAB，∴FG∥平面PAB.                                                           （2）∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB.∴AC⊥BM.由（1）已证FG∥BM，∴FG⊥AC.                                            （3）连结EM，由（2）知FG⊥AC,因此FG⊥平面AEC的充要条件是FG⊥AE，即BM⊥AE.∵E、M分别为PB、PA的中点，∴EM=BA=1，EM⊥PA.设EA∩BM=H，则EH=HA.设PA=h，则EA=PB=，EH=.∵Rt△AME∽Rt△MHE,∴EM2=EH·EA.∴12=·,解得h=2.在直角梯形ABCD中，由已知可得AD=，∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD.∴∠PDA为二面角PCDA的平面角，其大小为arctan2时，FG⊥平面AEC. 

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