题目

如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点． （Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD； （Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证B1C1⊥平面ABB1A1； （Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B﹣A1C1D的体积． 　   答案：考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （I）连结AB1交A1B于E，连ED．由正方形的性质及三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理可得B1C∥平面A1BD； （Ⅱ）由AC1⊥平面ABD，结合正方形的性质可证得A1B⊥平面AB1C1，进而A1B⊥B1C1，再由线面垂直的判定定理可得B1C1⊥平面ABB1A1． （III）由等腰三角形三线合一可得BD⊥AC．再由面面垂直的性质定理得到BD⊥平面DC1A1．即BD就是三棱锥B﹣A1C1D的高．代入棱锥的体积公式，可得答案． 解答： 证明：（I）连结AB1交A1B于E，连ED． ∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1， ∴侧面ABB1A是一正方形． ∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点． ∴在△AB1C中，ED是中位线． ∴B1C∥ED． 又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD ∴B1C∥平面A1BD．…（4分） （II）∵AC1⊥平面ABD，A1B⊂平面ABD， ∴AC1⊥A1B， 又∵侧面ABB1A是一正方形， ∴A1B⊥AB1． 又∵AC1∩AB1=A，AC1，AB1⊂平面AB1C1． ∴A1B⊥平面AB1C1． 又∵B1C1⊂平面AB1C1． ∴A1B⊥B1C1． 又∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴BB1⊥B1C1． 又∵A1B∩BB1=B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1． ∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分） 解：（III）∵AB=BC，D为AC的中点， ∴BD⊥AC． ∴BD⊥平面DC1A1． ∴BD就是三棱锥B﹣A1C1D的高． 由（II）知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1． ∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形． 又∵AB=BC=1 ∴BD= ∴AC=A1C1= ∴三棱锥B﹣A1C1D的体积 V=•BD•=•A1C1•AA1=K=…（12分） 点评： 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面平行，线面垂直的判定定理是解答的关键． 　

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