题目

（07年上海卷理）（18分）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。 答案：解析：（1） ，，    于是，所求“果圆”方程为                                ，  （2）由题意，得  ，即．         ，，得．        又．  ．                    （3）设“果圆”的方程为，．    记平行弦的斜率为．当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是． 的中点满足  得 ．      ， ．    综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．      当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．   由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．    当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

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