题目

已知复数|z|=2,求复数1+i+z的模的最大值、最小值. 答案：思路分析:(1)可以由复数的几何意义采用数形结合的方法来解,(2)通过不等式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|,其中第一个等号成立的条件是复数z1,z2对应的向量反向共线,第二个等号成立的条件是复数z1,z2对应的向量同向共线.解:法一:由已知,复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上,设ω=1+i+z,∴z=ω-1-i.∴|z|=|ω-(1+i)|=2.∴复数ω对应的点在复平面内以(1,)为圆心,半径为2的圆上,此时圆上的点A对应的复数ωA的模有最大值,圆上的点B对应的复数ωB的模有最小值.如图,故|1+i+z|max=4,|1+i+z|min=0.法二:利用公式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.∵|z|=2,∴||z|-|1+i||≤|z+1+i|≤|z|+|1+i|,∴0≤|z+1+i|≤2+2.∴|1+i+z|max=4,|1i+z|min=0.

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