题目

如图,某市有一条东西走向的公路l,现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l,m,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上(点P,Q分别在点O的正东、正北方向),且要求PQ与圆A相切. (1) 当点P距O处2百米时,求OQ的长; (2) 当公路PQ的长最短时,求OQ的长. 答案：解：以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系． 设与圆相切于点，连结，以百米为单位长度，则圆的方程为， (1)由题意可设直线的方程为，即，， ∵与圆相切，∴，解得， 故当距处百米时，的长为百米．……………6分 （2）设直线的方程为，即，， ∵与圆相切，∴，化简得，则， ……9分 令，∴， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， ∴在时取得最小值，故当公路长最短时，的长为百米． 答：（1)当距处百米时，的长为百米；（2）当公路长最短时，的 长为百米．……………16分

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