题目

已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)． (1)求双曲线方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0； (3)求△F1MF2的面积． 答案：[分析]　由离心率为可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单． [解析]　(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵过(4，－)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)， ∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3. 故kMF1·kMF2＝－1，∴⊥.∴·＝0. 证法2：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)， ∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， ∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴·＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4， △F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6. [点评]　双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．

查看本题答案和解析