题目
某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,产品的正品率P与日产量件之间的关系为,每生产一件正品盈利4 000元,每出现一件次品亏损2 000元.(注:正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%) (1)将日利润(元)表示成日产量(件)的函数; (2)该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.
答案:解:(1)∵y=4 000··x-2 000·x=3 600x-x3, ∴所求的函数关系式是y=-x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40). (2)由(1)知y′=3 600-4x2. 令y′=0,解得x=30. ∴当1≤x<30时,y′>0; 当30<x≤40时,y′<0. ∴函数y=-x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40)在(1,30)上是单调递增函数,在(30,40)上是单调递减函数. ∴当x=30时,函数y=-x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值,最大值为-×303+3 600×30=72 000(元). ∴该厂的日产量为30件时,日利润最大,最大值为72 000元.