题目

（本小题满分14分） 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点的直线交椭圆于、两点. （I）求椭圆的方程； （II）在轴上是否存在一点，使得恒为常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由. 答案：解：（I）设椭圆的方程为. 由题意，得，解得，所以.   …………………………3分 所求的椭圆方程为.      …………………………………………………4分 （II）由（I）知. 假设在轴上存在一点，使得恒为常数.   ①当直线与轴不垂直时，设其方程为，、. 由得.   ……………………………6分 所以，.      ………………………………………7分                 . 因为是与无关的常数，从而有，即.      ……………10分 此时.   ……………………………………………………………………11分 ②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为， 当时，亦有.    ………………………………………………13分 综上，在轴上存在定点，使得恒为常数，且这个常数为.                             …………………………………………………………14分

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