题目

20.     如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求    （Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；    （Ⅱ）二面角E—PC—D的大小. 答案：20. 解法一：（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.设DE=x，因△DAE∽△CED，故（负根舍去）.从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH.因PD⊥底面，故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.因此∠EHG为二面角的平面角.在面PDC中，PD=，CD=2，GC=因△PDC∽△GHC，故，又故在即二面角E—PC—D的大小为解法二：（Ⅰ）以D为原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，C（0，2，0）设由·=0，即由·，又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得||=1，故异面直线PD、CE的距离为1.（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由 得即=（0,1,）作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），则=由·，又由F在PC上得因⊥,⊥,故平面E—PC—D的平面角的大小为向量与的夹角.故即二面角E—PC—D的大小为

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