题目

设数列{an}中，Sn是它的前n项和，a1=4，nan+1=Sn+n(n+1)对任意n∈N*均成立．(Ⅰ)求证：数列{an}是等差数列；(Ⅱ)设数列{bn}满足bn+1-bn=an，其中b1=2，求数列{bn}的通项公式；(Ⅲ)设cn=，求证：c1+c2+…+cn＜1． 答案：解：(Ⅰ)∵nan+1=Sn+n(n+1)  ①∴(n-1)an=Sn-1+(n-1)n(n≥2)  ②①-②整理得，an+1-an=2(n≥2)又由①，取n=1得a2-a1=2，∴an+1-an=2(n∈N*)∴数列{an}是以4为首项，2为公差的等差数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=4+2(n-1)=2(n+1)，∴bn+1-bn=2(n+1),∴(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=2n+2(n-1)+…+2×3+2×2=n2+n-2，∴bn=n(n+1)．(Ⅲ)由cn=得，cn=，∴c1+c2+…+cn=1-=1-＜1．证毕．

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