题目

已知f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间，并加以证明； (3)求f(x)(x>0)的最值． 答案： (1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立， 即＝0恒成立， 则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立． ∴a＝b＝0. (2)∵f(x)＝ (x∈R)是奇函数， ∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可． 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝∵x＋1>0，x＋1>0，x2－x1>0， 而x1，x2∈[0,1]时，x1x2－1<0， ∴当x1，x2∈[0,1]时，f(x1)－f(x2)<0， 函数y＝f(x)是增加的； 当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)>0， 函数y＝f(x)是减少的． 又f(x)是奇函数， ∴f(x)在[－1,0]上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的． 又x∈[0,1]，u∈[－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在[－1,1]上是增加的． (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在[1，＋∞)上递减，则f(x)在x＝1处可取得最大值 . ∴f(1)＝，∴函数的最大值为，无最小值．

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