题目

如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6． （Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE； （Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D﹣CE﹣M的大小为时，求出AE的长． 答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定． 【分析】（I）如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．利用正方形的性质可得AF=FM，利用三角形的中位线定理可得：EF∥BM．利用线面平行的判定定理可得：BM∥平面NDE． （II）由DM⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得：DM⊥平面ABCD，DM⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则，解得．取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．根据二面角D﹣CE﹣M的大小为时，可得=，解出b即可． 【解答】（I）证明：如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF． ∵四边形ADMN是正方形，∴AF=FM， 又AE=EB，∴EF∥BM． ∵BM⊄平面NDE，EF⊂平面NDE， ∴BM∥平面NDE． （II）解：由DM⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD， ∴DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DC，又AD⊥DC． 以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设E（3，b，0），D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3）． =（3，b﹣6，0），=（0，﹣6，3）． 设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则， 取y=1，则z=2，x=． ∴=． 取平面ABCD的法向量=（0，0，1）． ∵二面角D﹣CE﹣M的大小为时，∴ ==， 解得b=（0≤b≤6）． ∴二面角D﹣CE﹣M的大小为时，AE=．

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