题目

已知双曲线x2-=1与点P(1，2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点.(1)求直线AB的方程；(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦. 答案：思路分析：本题考查双曲线及双曲线与直线的交点问题.经过某点的直线我们可以用直线方程表示，然后将直线方程与双曲线方程联立起来，根据题给条件进行变换即可.解：（1）设过点P(1，2)的直线AB的方程为y-2=k(x-1)，代入双曲线方程并整理得(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k2-4k+6)=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2),则有x1+x2=，由已知-1，=2,解得k=1.又k=1时，Δ=(2k2-4k)2+4(2-k2)(k2-4k+6)=16＞0，从而直线AB的方程为x-y+1=0.(2)证明：设过Q(1，1)点的直线方程为y-1=k(x-1)，代入双曲线方程并整理，得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(k2-2k+3)=0，由题知=2，解得k=2，而当k=2时，Δ=［-2k(1-k)］2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-62＜0，∴这样的直线不存在.

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