题目

在直角坐标平面内，已知点， 是平面内一动点，直线、斜率之积为. (Ⅰ)求动点的轨迹的方程； (Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. 答案：（1）（2） 解析:(Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有  .                ………………… 3分 化简并整理，得 . ∴动点的轨迹的方程是.           ………………… 5分  (Ⅱ)解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为, ………6分 由方程组    消去，并整理得         设,,则    ，……………………………………………………… 8分 ∴ ∴, ,           …………………………………………… 10分 (1)当时，；           …………………………………………… 11分 (2)当时, . . 且 .                ………………………………………… 13分 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分 解法二：依题意，直线过点且斜率不为零. 当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；   …………6分 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,   …………7分 由方程组    消去，并整理得         设,,则    ，……………………………………………………… 8分 ∴ , ,              ………………… 10分 . . 且 .                ………………………………………… 13分 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分

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