题目

已知向量a=(x,1),b=(1,-sinx),函数f(x)=a·b.(1)若x∈［0,π］,试求函数f(x)的值域；(2)若θ为常数，且θ∈(0,π),设g(x)=,x∈［0,π］,请讨论g(x)的单调性，并判断g(x)的符号. 答案：解：(1)f(x)=a·b=x-sinx,∴f′(x)=1-cosx,x∈［0,π］.∴f′(x)≥0.∴f(x)在［0，π］上单调递增.                                      于是f(0)≤f(x)≤f(π),即0≤f(x)≤π,∴f(x)的值域为［0，π］.                                                   (2)g(x)=,∴g′(x)=cosx+cos.                                             ∵x∈［0,π］,θ∈(0,π),∴∈(0,π).而y=cosx在［0,π］内单调递减,∴由g′(x)=0,得x=,即x=θ.因此，当0≤x＜θ时，g′(x)＜0,g(x)单调递减;当θ＜x≤π时，g′(x)＞0,g(x)单调递增.                                        由g(x)的单调性，知g(θ)是g(x)在［0,π］上的最小值,∴当x=θ时，g(x)=g(θ)=0；当x≠θ时，g(x)＞g(θ)=0.                           综上,知当x∈［0,θ)时，g(x)单调递减;当x∈(θ,π］时，g(x)单调递增.当x=θ时，g(x)=0,当x≠θ时，g(x)＞0.

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