题目

若0＜x,y,z＜2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1. 答案：思路解析:“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”,由于涉及三个式子,它们出现的情况有很多类,此类问题常用的方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为“都”,可用反证法来处理.证明:方法一:假设x(2-y)＞1且y(2-z)＞1且z(2-x)＞1均成立.则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1.                                           ①由于0＜x＜2,∴0＜x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1.同理,0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1.∴三式相乘得0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1.                                        ②②与①矛盾,故假设不成立.∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.方法二:假设x(2-y)＞1且y(2-z)＞1且z(2-x)＞1.∴.                                 ③而=3.④④与③矛盾,故假设不成立.∴原题设结论成立.

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