题目

如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，． （Ⅰ） 证明：A1C⊥平面BB1D1D； （Ⅱ） 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小． 答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证． （Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD； 又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O， ∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD． 在正方形ABCD中，∵，∴AO=1， 在Rt△A1OA中，∵，∴A1O=1． 设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O． 又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O， ∴A1C⊥面BB1D1D； （Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1）， ． 由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量， ，． 设平面OCB1的法向量为， 由，得，取z=﹣1，得x=1． ∴． 则=． 所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为． 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．

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