题目

新定义：在平面直角坐标系中，对于任意点，和直线，我们称直线为点的伴随直线，反之称点为直线的伴随点；特别的，直线（为常数）的伴随点为．    如图1，已知三个顶点的坐标分别为． （1）点的伴随直线的解析式为__________．（请直接写出答案） （2）若直线的伴随点是点，直线的伴随点是点，点为轴上的动点，当的周长最小时，求点的坐标． （3）点是折线段的动点（包括端点），若直线是点的伴随直线，当直线与有且仅有两个公共点时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 答案：（1）；（2）(，)；（3）或 【解析】 (1)直接根据伴随点和伴随直线的定义可得结论； (2)利用待定系数法求得直线AB、BC的解析式，根据伴随点和伴随直线的定义可得D、E的坐标，再得到点D关于x轴的对称点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； (3)点P分别在线段AB→BC上讨论，根据直线与△ABC恰有两个公共点时，可得的取值范围． 【详解】 (1)点A(，)的伴随直线的解析式为：； (2)设直线AB的解析式为， 把A(，)，B(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为，伴随点D的坐标是(，)， 设直线BC的解析式为， 把B(，)，C(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为，伴随点E的坐标是(，)， 作点D(，)关于轴的对称点，连接交轴于点F，此时DF+EF的值最小，由于DE是定值，所以的周长最小，如图： ∴点的坐标为(，)， 设直线的解析式为， 把E (，)，(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点F的坐标是(，)； (3)①当P在线段AB上时，如图， ∵直线AB的解析式为， ∴设P(，)()，则伴随直线的解析式为：， 把B(1，5)代入得：，解得：， 当时，伴随直线的解析式为：， 当时，伴随直线的解析式为：， ∴当，直线与△ABC恰有两个公共点； ②当P在线段BC上时，如图， ∵直线BC的解析式为， ∴设P(，)(，则伴随直线的解析式为：， 把B(1，5)代入得：，解得：， 当时，伴随直线的解析式为：， 当时，伴随直线的解析式为：， ∴当，直线与△ABC恰有两个公共点； ∴； 综上，或． 【点睛】 本题是一次函数与几何的综合题，也是有关伴随点和伴随直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解伴随点和伴随直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键．

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