题目

（本小题满分12分） 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由． 答案：解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2. 故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t， 由得y2＋2y－2t＝0. 因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1. 因为－1∉，1∈， 所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

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