题目

探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B、C重合），连结AE，过点E作AE⊥EF，EF交边CD于点F，求证：△ABE≌△ECF． 拓展：如图②，△ABC是等边三角形，点D在边BC上（点D不与点B、C重合），连结AD，以AD为边作∠ADE=∠ABC，DE交边AC于点E，若AB=3，BD=x，CE=y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． 答案：【考点】相似三角形的判定与性质；函数关系式；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质． 【分析】（1）由正方形的性质和已知条件证明∠BAE=∠FEC，即可证明：△ABE∽△ECF； （2）根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，于是得到∠BAD+∠ADB=120°，根据已知条件得到∠ADB+∠CDE=120°，等量代换得到∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠BAE+∠BEA=90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF=90°， ∴∠BEA+∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC， ∴△ABE∽△ECF； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAD+∠ADB=120°， ∵∠ADE=∠ABC， ∴∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠CDE=120°， ∴∠BAD=∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴， ∵AB=3，BD=x，CE=y， ∴， ∴y=﹣x2+x． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，求二次函数的解析式，证得△ABD∽△DCE是解题的关键．

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