题目

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（　　） A．8               B．10               C．12              D．16 答案：C． 【解答】解：连接BD，如图， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵∠AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， 而∠DCA＝∠ABD， ∴∠DAC＝∠ABD， ∵DE⊥AB， ∴∠ABD+∠BDE＝90°， 而∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠ABD＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴FD＝FA＝5， 在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝， ∴EF＝3， ∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8， ∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED， ∴△ADE∽△DBE， ∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8， ∴BE＝16， ∴AB＝4+16＝20， 在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝， ∴BC＝20×＝12． 故选：C．

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