题目

设数列{an}满足a1=2，a2+a5=14，且对任意n∈N*，函数f（x）=an+1x2﹣（an+2+an）x满足f′（1）=0． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证Sn＜． 答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）求出函数的导数，由条件可得2an+1=an+2+an，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式，可得d=2，即可得到通项公式； （2）由bn==（﹣），运用裂项相消求和，由不等式的性质，即可得证． 【解答】（1）解：函数f（x）=an+1x2﹣（an+2+an）x的导数为f′（x）=2an+1x﹣（an+2+an）， 由f′（1）=0，可得2an+1=an+2+an， 由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，设公差为d， 则a1=2，a2+a5=2a1+5d=14， 解得d=2， 即有an=a1+2（n﹣1）=2n． （2）证明：bn===（﹣）， 则Sn=（1﹣+﹣+…+﹣） =（1﹣）＜． 则Sn＜．

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