题目

19.已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围.　 答案：19.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.  解：求函数f（x）的导数：f′（x）=3ax2+6x－1.（ⅰ）当f′（x）＜0（x∈R）时，f（x）是减函数.3ax2+6x－1＜0（x∈R）a＜0且Δ=36+12a＜0a＜－3.所以，当a＜－3时，由f′（x）＜0，知f（x）（x∈R）是减函数；（ⅱ）当a=－3时，f（x）=－3x3+3x2－x+1=－3（x－）3+,由函数y=x3在R上的单调性，可知当a=－3时，f（x）（x∈R）是减函数；（ⅲ）当a＞－3时,在R上存在一个区间，其上有f′（x）＞0，所以，当a＞－3时，函数f（x）（x∈R）不是减函数.综上，所求a的取值范围是（－∞，－3］.

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