题目

如图,三棱锥V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°.(1)求证：V、A、B、C四点在同一球面上;(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直,求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形. 答案：证明：(1)取VC的中点M，     ∵VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°,    ∴BC⊥VB．在Ｒｔ△VBC中，M为斜边VC的中点，    ∴ＭB＝ＭC＝ＭV.    同理,在Ｒｔ△VAC中，ＭA＝ＭV＝ＭC.    ∴ＭV＝ＭC＝ＭA＝ＭB.∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.     (2)取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN,则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V—ABC的截面，易证PQMN是平行四边形.    又VA⊥BC，ＱP∥VA，NP∥BC，∴ＱP⊥PN.    故截面MNPＱ是矩形.

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