题目

在三棱柱ABC­A1B1C1中，棱AA1与底面ABC垂直，△ABC为等腰直角三角形， AB＝AC＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点． (1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：平面AB1F⊥平面AEF．          答案： (1)证明：取AB的中点为G，连接DG，GC. ∵D是AB1的中点，∴DG∥BB1，且DG＝BB1， 又∵BB1∥CC1，CE＝CC1， ∴DG∥CE且DG＝CE， ∴四边形DECG是平行四边形， ∴DE∥GC，又∵DE平面ABC，GC平面ABC，∴DE∥平面ABC. (2)∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，∴BC⊥AF， 由题意知，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AF，又∵B1B∩BC＝B， ∴AF⊥平面B1BF，∴AF⊥B1F，设AB＝AA1＝2，则B1F＝，EF＝，B1E＝3，故B1E2＝B1F2＋EF2，∴B1F⊥EF，又∵AF∩EF＝F， ∴B1F⊥平面AEF，又∵B1F平面AB1F，∴平面AB1F⊥平面AEF.

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