题目

已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点. (1)证明：PF⊥FD； (2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD； (3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的平面角的余弦值. 答案：方法一：(1)∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°， AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0). 不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)， ∴·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0， 即PF⊥FD. (2)存在.设平面PFD的一个法向量为n＝(x，y，z)，结合(1)， 由，得， 令z＝1，解得：x＝y＝.∴n＝(，，1). 设G点坐标为(0,0，m)，E(，0,0)，则＝(－，0，m)， 要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即(－)×＋0×＋m×1＝m－＝0， 得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求. (3)∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得＝(1,0,0)， 又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角， 得∠PBA＝45°，PA＝1，结合(2)得平面PFD的法向量为n＝(，，1)， ∴cos〈，n〉＝＝＝， 由题意知二面角A－PD－F为锐二面角. 故所求二面角A－PD－F的平面角的余弦值为. 方法二：(1)连接AF，则AF＝，DF＝， 又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF， 又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A， ∴DF⊥平面PAF，又∵PF⊂平面PAF，∴DF⊥PF. (2)过点E作EH∥DF交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD， 再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP， ∴平面EHG∥平面PFD，∴EG∥平面PFD. 从而满足AG＝AP的点G即为所求. (3)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA＝45°，∴PA＝AB＝1， 取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD， 在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN， 则∠MNF即为二面角A—PD—F的平面角， ∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴＝， ∵PA＝1，MD＝1，PD＝，∴MN＝， 又∵∠FMN＝90°，∴FN＝＝， ∴cos∠MNF＝＝.

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