题目

设a∈R,f(x)为奇函数,且.(1)试求f(x)的反函数f -1 (x)及其定义域;(2)设g(x)=,若x∈［,］时,f -1(x)≤g(x)恒成立,试求实数k的范围. 答案：解析：（1）由题意知， ∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x),化简有(2x+1) (2a-2)=0.又∵2x+1≠0,∴2a-2=0,即a=1.由此可解得f -1 (x)=log2.又∵2x= ＞0,∴-1＜y＜1.因此y=f -1(x)的定义域为x∈(-1,1).（2）∵当x∈［，］时，f -1(x)≤g(x)恒成立，又由对数定义可知＞0,且由x∈［，］知1+x＞0,1-x＞0.故有k＞0.∴不等式①可化为k2≤1-x2.令h(x)=1-x2,由二次函数的单调性可知h(x)在［，］上为单调减函数，则有［h(x)］min=h()=1-()2=.∴应有k2≤［h(x)］min=.又∵k＞0,∴k的取值范围是0＜k≤.

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